Algèbre linéaire Exemples

[\begin{array}{c} 6 & - 2 & - 4 & 4 \\ 3 & - 3 & - 6 & 1 \\ - 12 & 8 & 21 & - 8 \\ - 6 & 0 & - 10 & 7 \end{array}] [\begin{array}{c} x \\ y \\ z \\ w \end{array}] = [\begin{array}{c} 2 \\ - 4 \\ 8 \\ - 43 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 6 & - 2 & - 4 & 4 \\ 3 & - 3 & - 6 & 1 \\ - 12 & 8 & 21 & - 8 \\ - 6 & 0 & - 10 & 7 \end{array}] [\begin{array}{c} x \\ y \\ z \\ w \end{array}] = [\begin{array}{c} 2 \\ - 4 \\ 8 \\ - 43 \end{array}]$

Step 1

Le noyau d’une transformation est un vecteur qui rend cette transformation égale au vecteur nul (la préimage de la transformation).

[\begin{array}{c} 2 \\ - 4 \\ 8 \\ - 43 \end{array}] = 0

$[\begin{array}{c} 2 \\ - 4 \\ 8 \\ - 43 \end{array}] = 0$

Step 2

Créez un système d’équations à partir de l’équation vectorielle.

2 = 0

$2 = 0$

- 4 = 0

$- 4 = 0$

8 = 0

$8 = 0$

- 43 = 0

$- 43 = 0$

Step 3

Soustrayez

2

$2$ des deux côtés de l’équation.

0 = - 2

$0 = - 2$

- 4 = 0

$- 4 = 0$

8 = 0

$8 = 0$

- 43 = 0

$- 43 = 0$

Step 4

Ajoutez

4

$4$ aux deux côtés de l’équation.

0 = 4

$0 = 4$

0 = - 2

$0 = - 2$

8 = 0

$8 = 0$

- 43 = 0

$- 43 = 0$

Step 5

Soustrayez

8

$8$ des deux côtés de l’équation.

0 = - 8

$0 = - 8$

0 = - 2

$0 = - 2$

0 = 4

$0 = 4$

- 43 = 0

$- 43 = 0$

Step 6

Ajoutez

43

$43$ aux deux côtés de l’équation.

0 = 43

$0 = 43$

0 = - 2

$0 = - 2$

0 = 4

$0 = 4$

0 = - 8

$0 = - 8$

Step 7

Écrivez le système d’équations sous forme de matrice.

[\begin{array}{c} - 2 \\ 4 \\ - 8 \\ 43 \end{array}]

$[\begin{array}{c} - 2 \\ 4 \\ - 8 \\ 43 \end{array}]$

Step 8

Déterminez la forme d’échelon en ligne réduite de la matrice.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Réalisez l’opération ligne

R_{1} = - \frac{1}{2} R_{1}

$R_{1} = - \frac{1}{2} R_{1}$ sur

R_{1}

$R_{1}$ (ligne

1

$1$ ) afin de convertir certains éléments de la ligne en

1

$1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Remplacez

R_{1}

$R_{1}$ (ligne

1

$1$ ) par l’opération ligne

R_{1} = - \frac{1}{2} R_{1}

$R_{1} = - \frac{1}{2} R_{1}$ afin de convertir des éléments de la ligne à la valeur souhaitée

1

$1$ .

[\begin{array}{c} - \frac{1}{2} R_{1} \\ 4 \\ - 8 \\ 43 \end{array}]

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{2} R_{1} \\ 4 \\ - 8 \\ 43 \end{array}]$

R_{1} = - \frac{1}{2} R_{1}

$R_{1} = - \frac{1}{2} R_{1}$

Remplacez

R_{1}

$R_{1}$ (ligne

1

$1$ ) par les valeurs réelles des éléments pour l’opération ligne

R_{1} = - \frac{1}{2} R_{1}

$R_{1} = - \frac{1}{2} R_{1}$ .

[\begin{array}{c} (- \frac{1}{2}) \cdot (- 2) \\ 4 \\ - 8 \\ 43 \end{array}]

$[\begin{array}{c} (- \frac{1}{2}) \cdot (- 2) \\ 4 \\ - 8 \\ 43 \end{array}]$

R_{1} = - \frac{1}{2} R_{1}

$R_{1} = - \frac{1}{2} R_{1}$

Simplifiez

R_{1}

$R_{1}$ (ligne

1

$1$ ).

[\begin{array}{c} 1 \\ 4 \\ - 8 \\ 43 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 \\ 4 \\ - 8 \\ 43 \end{array}]$

[\begin{array}{c} 1 \\ 4 \\ - 8 \\ 43 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 \\ 4 \\ - 8 \\ 43 \end{array}]$

Réalisez l’opération ligne

R_{2} = - 4 \cdot R_{1} + R_{2}

$R_{2} = - 4 \cdot R_{1} + R_{2}$ sur

R_{2}

$R_{2}$ (ligne

2

$2$ ) afin de convertir certains éléments de la ligne en

0

$0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Remplacez

R_{2}

$R_{2}$ (ligne

2

$2$ ) par l’opération ligne

R_{2} = - 4 \cdot R_{1} + R_{2}

$R_{2} = - 4 \cdot R_{1} + R_{2}$ afin de convertir des éléments de la ligne à la valeur souhaitée

0

$0$ .

[\begin{array}{c} 1 \\ - 4 \cdot R_{1} + R_{2} \\ - 8 \\ 43 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 \\ - 4 \cdot R_{1} + R_{2} \\ - 8 \\ 43 \end{array}]$

R_{2} = - 4 \cdot R_{1} + R_{2}

$R_{2} = - 4 \cdot R_{1} + R_{2}$

Remplacez

R_{2}

$R_{2}$ (ligne

2

$2$ ) par les valeurs réelles des éléments pour l’opération ligne

R_{2} = - 4 \cdot R_{1} + R_{2}

$R_{2} = - 4 \cdot R_{1} + R_{2}$ .

[\begin{array}{c} 1 \\ (- 4) \cdot (1) + 4 \\ - 8 \\ 43 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 \\ (- 4) \cdot (1) + 4 \\ - 8 \\ 43 \end{array}]$

R_{2} = - 4 \cdot R_{1} + R_{2}

$R_{2} = - 4 \cdot R_{1} + R_{2}$

Simplifiez

R_{2}

$R_{2}$ (ligne

2

$2$ ).

[\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ - 8 \\ 43 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ - 8 \\ 43 \end{array}]$

[\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ - 8 \\ 43 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ - 8 \\ 43 \end{array}]$

Réalisez l’opération ligne

R_{3} = 8 \cdot R_{1} + R_{3}

$R_{3} = 8 \cdot R_{1} + R_{3}$ sur

R_{3}

$R_{3}$ (ligne

3

$3$ ) afin de convertir certains éléments de la ligne en

0

$0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Remplacez

R_{3}

$R_{3}$ (ligne

3

$3$ ) par l’opération ligne

R_{3} = 8 \cdot R_{1} + R_{3}

$R_{3} = 8 \cdot R_{1} + R_{3}$ afin de convertir des éléments de la ligne à la valeur souhaitée

0

$0$ .

[\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 8 \cdot R_{1} + R_{3} \\ 43 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 8 \cdot R_{1} + R_{3} \\ 43 \end{array}]$

R_{3} = 8 \cdot R_{1} + R_{3}

$R_{3} = 8 \cdot R_{1} + R_{3}$

Remplacez

R_{3}

$R_{3}$ (ligne

3

$3$ ) par les valeurs réelles des éléments pour l’opération ligne

R_{3} = 8 \cdot R_{1} + R_{3}

$R_{3} = 8 \cdot R_{1} + R_{3}$ .

[\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ (8) \cdot (1) - 8 \\ 43 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ (8) \cdot (1) - 8 \\ 43 \end{array}]$

R_{3} = 8 \cdot R_{1} + R_{3}

$R_{3} = 8 \cdot R_{1} + R_{3}$

Simplifiez

R_{3}

$R_{3}$ (ligne

3

$3$ ).

[\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 43 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 43 \end{array}]$

[\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 43 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 43 \end{array}]$

Réalisez l’opération ligne

R_{4} = - 43 \cdot R_{1} + R_{4}

$R_{4} = - 43 \cdot R_{1} + R_{4}$ sur

R_{4}

$R_{4}$ (ligne

4

$4$ ) afin de convertir certains éléments de la ligne en

0

$0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Remplacez

R_{4}

$R_{4}$ (ligne

4

$4$ ) par l’opération ligne

R_{4} = - 43 \cdot R_{1} + R_{4}

$R_{4} = - 43 \cdot R_{1} + R_{4}$ afin de convertir des éléments de la ligne à la valeur souhaitée

0

$0$ .

[\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \\ - 43 \cdot R_{1} + R_{4} \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \\ - 43 \cdot R_{1} + R_{4} \end{array}]$

R_{4} = - 43 \cdot R_{1} + R_{4}

$R_{4} = - 43 \cdot R_{1} + R_{4}$

Remplacez

R_{4}

$R_{4}$ (ligne

4

$4$ ) par les valeurs réelles des éléments pour l’opération ligne

R_{4} = - 43 \cdot R_{1} + R_{4}

$R_{4} = - 43 \cdot R_{1} + R_{4}$ .

[\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \\ (- 43) \cdot (1) + 43 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \\ (- 43) \cdot (1) + 43 \end{array}]$

R_{4} = - 43 \cdot R_{1} + R_{4}

$R_{4} = - 43 \cdot R_{1} + R_{4}$

Simplifiez

R_{4}

$R_{4}$ (ligne

4

$4$ ).

[\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}]$

[\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}]$

[\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}]$

Step 9

Utilisez la matrice de résultat pour déclarer les solutions finales au système d’équations.

0 = 1

$0 = 1$

Step 10

Cette expression est l’ensemble de solutions pour le système d’équations.

{}

${}$

Step 11

Décomposez un vecteur solution en réorganisant chaque équation représentée dans la matrice augmentée en ligne réduite en résolvant pour la variable dépendante sur chaque ligne pour obtenir l’égalité vectorielle.

X = = [\begin{array}{c} 0 \end{array}]

$X = = [\begin{array}{c} 0 \end{array}]$

Step 12

L’espace nul de l’ensemble est l’ensemble de vecteurs créé à partir des variables libres du système.

{[\begin{array}{c} 0 \end{array}]}

${[\begin{array}{c} 0 \end{array}]}$

Step 13

Le noyau de

M

$M$ est le sous-espace

{[\begin{array}{c} 0 \end{array}]}

${[\begin{array}{c} 0 \end{array}]}$ .

K (M) = {[\begin{array}{c} 0 \end{array}]}

$K (M) = {[\begin{array}{c} 0 \end{array}]}$