Algèbre linéaire Exemples

$[\begin{array}{c} 6 & - 2 & - 4 & 4 \\ 3 & - 3 & - 6 & 1 \\ - 12 & 8 & 21 & - 8 \\ - 6 & 0 & - 10 & 7 \end{array}] [\begin{array}{c} x \\ y \\ z \\ w \end{array}] = [\begin{array}{c} 2 \\ - 4 \\ 8 \\ - 43 \end{array}]$

Step 1

Le noyau d’une transformation est un vecteur qui rend cette transformation égale au vecteur nul (la préimage de la transformation).

$[\begin{array}{c} 2 \\ - 4 \\ 8 \\ - 43 \end{array}] = 0$

Step 2

Créez un système d’équations à partir de l’équation vectorielle.

$2 = 0$

$- 4 = 0$

$8 = 0$

$- 43 = 0$

Step 3

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$0 = - 2$

$- 4 = 0$

$8 = 0$

$- 43 = 0$

Step 4

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$0 = 4$

$0 = - 2$

$8 = 0$

$- 43 = 0$

Step 5

Soustrayez $8$ des deux côtés de l’équation.

$0 = - 8$

$0 = - 2$

$0 = 4$

$- 43 = 0$

Step 6

Ajoutez $43$ aux deux côtés de l’équation.

$0 = 43$

$0 = - 2$

$0 = 4$

$0 = - 8$

Step 7

Écrivez le système d’équations sous forme de matrice.

$[\begin{array}{c} - 2 \\ 4 \\ - 8 \\ 43 \end{array}]$

Step 8

Déterminez la forme d’échelon en ligne réduite de la matrice.

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Réalisez l’opération ligne $R_{1} = - \frac{1}{2} R_{1}$ sur $R_{1}$ (ligne $1$ ) afin de convertir certains éléments de la ligne en $1$ .

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Remplacez $R_{1}$ (ligne $1$ ) par l’opération ligne $R_{1} = - \frac{1}{2} R_{1}$ afin de convertir des éléments de la ligne à la valeur souhaitée $1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{2} R_{1} \\ 4 \\ - 8 \\ 43 \end{array}]$

$R_{1} = - \frac{1}{2} R_{1}$

Remplacez $R_{1}$ (ligne $1$ ) par les valeurs réelles des éléments pour l’opération ligne $R_{1} = - \frac{1}{2} R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} (- \frac{1}{2}) \cdot (- 2) \\ 4 \\ - 8 \\ 43 \end{array}]$

$R_{1} = - \frac{1}{2} R_{1}$

Simplifiez $R_{1}$ (ligne $1$ ).

$[\begin{array}{c} 1 \\ 4 \\ - 8 \\ 43 \end{array}]$

Réalisez l’opération ligne $R_{2} = - 4 \cdot R_{1} + R_{2}$ sur $R_{2}$ (ligne $2$ ) afin de convertir certains éléments de la ligne en $0$ .

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Remplacez $R_{2}$ (ligne $2$ ) par l’opération ligne $R_{2} = - 4 \cdot R_{1} + R_{2}$ afin de convertir des éléments de la ligne à la valeur souhaitée $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 \\ - 4 \cdot R_{1} + R_{2} \\ - 8 \\ 43 \end{array}]$

$R_{2} = - 4 \cdot R_{1} + R_{2}$

Remplacez $R_{2}$ (ligne $2$ ) par les valeurs réelles des éléments pour l’opération ligne $R_{2} = - 4 \cdot R_{1} + R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 \\ (- 4) \cdot (1) + 4 \\ - 8 \\ 43 \end{array}]$

$R_{2} = - 4 \cdot R_{1} + R_{2}$

Simplifiez $R_{2}$ (ligne $2$ ).

$[\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ - 8 \\ 43 \end{array}]$

Réalisez l’opération ligne $R_{3} = 8 \cdot R_{1} + R_{3}$ sur $R_{3}$ (ligne $3$ ) afin de convertir certains éléments de la ligne en $0$ .

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Remplacez $R_{3}$ (ligne $3$ ) par l’opération ligne $R_{3} = 8 \cdot R_{1} + R_{3}$ afin de convertir des éléments de la ligne à la valeur souhaitée $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 8 \cdot R_{1} + R_{3} \\ 43 \end{array}]$

$R_{3} = 8 \cdot R_{1} + R_{3}$

Remplacez $R_{3}$ (ligne $3$ ) par les valeurs réelles des éléments pour l’opération ligne $R_{3} = 8 \cdot R_{1} + R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ (8) \cdot (1) - 8 \\ 43 \end{array}]$

$R_{3} = 8 \cdot R_{1} + R_{3}$

Simplifiez $R_{3}$ (ligne $3$ ).

$[\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 43 \end{array}]$

Réalisez l’opération ligne $R_{4} = - 43 \cdot R_{1} + R_{4}$ sur $R_{4}$ (ligne $4$ ) afin de convertir certains éléments de la ligne en $0$ .

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Remplacez $R_{4}$ (ligne $4$ ) par l’opération ligne $R_{4} = - 43 \cdot R_{1} + R_{4}$ afin de convertir des éléments de la ligne à la valeur souhaitée $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \\ - 43 \cdot R_{1} + R_{4} \end{array}]$

$R_{4} = - 43 \cdot R_{1} + R_{4}$

Remplacez $R_{4}$ (ligne $4$ ) par les valeurs réelles des éléments pour l’opération ligne $R_{4} = - 43 \cdot R_{1} + R_{4}$ .

$[\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \\ (- 43) \cdot (1) + 43 \end{array}]$

$R_{4} = - 43 \cdot R_{1} + R_{4}$

Simplifiez $R_{4}$ (ligne $4$ ).

$[\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}]$

Step 9

Utilisez la matrice de résultat pour déclarer les solutions finales au système d’équations.

$0 = 1$

Step 10

Cette expression est l’ensemble de solutions pour le système d’équations.

${}$

Step 11

Décomposez un vecteur solution en réorganisant chaque équation représentée dans la matrice augmentée en ligne réduite en résolvant pour la variable dépendante sur chaque ligne pour obtenir l’égalité vectorielle.

$X = = [\begin{array}{c} 0 \end{array}]$

Step 12

L’espace nul de l’ensemble est l’ensemble de vecteurs créé à partir des variables libres du système.

${[\begin{array}{c} 0 \end{array}]}$

Step 13

Le noyau de $M$ est le sous-espace ${[\begin{array}{c} 0 \end{array}]}$ .

$K (M) = {[\begin{array}{c} 0 \end{array}]}$